5^{\underline{a}} Questão: Determine os pontos da curva 3 x^{2}+2 x y+3 y^{2}=3 tais que as retas tangentes nesses pontos tenham retas tangentes paralelas à reta x+3 y=10.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva definida implicitamente por
3x^2 + 2xy + 3y^2 = 3
e pede os pontos onde a reta tangente à curva é paralela à reta x + 3y = 10.
Como essa reta tem coeficiente angular m = -\tfrac{1}{3}, nosso objetivo é achar os pontos em que
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}.
Para isso, vamos usar derivação implícita.

Passo 2

Derivando
3x^2 + 2xy + 3y^2 = 3
em relação a x, obtemos
6x + 2\bigl(x\,\frac{dy}{dx} + y\bigr) + 6y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Reagrupando termos:
(2x + 6y)\,\frac{dy}{dx} + (6x + 2y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 2y}{2x + 6y} = -\frac{3x + y}{x + 3y}.

Passo 3

Impondo \tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{3}, temos
-\frac{3x + y}{x + 3y} = -\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x + y}{x + 3y} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3(3x + y) = x + 3y \quad\Longrightarrow\quad 8x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Passo 4

Substituindo x = 0 na equação da curva,
3\cdot 0^2 + 2\cdot 0\cdot y + 3y^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3y^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm 1.

Resposta

Os pontos são (0,1) e (0,-1).

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