Questão 1. (4,5) Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias a seguir com todos os detalhes.
(1,5) y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+10 y=2 x^{2}-12 x+18

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 10y = 2x^2 - 12x + 18.
O método envolve duas partes: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois obtemos uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 6y' + 10y = 0.
A equação característica é
r^2 + 6r + 10 = 0,
cuja solução é
r = -3 \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 3

Para a solução particular y_p\) usamos um polinômio de grau 2, isto é \[y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.
Calculando derivadas:
y_p'(x) = 2Ax + B, \quad y_p''(x) = 2A.
Substituindo na equação original:
2A + 6(2Ax + B) + 10(Ax^2 + Bx + C) = 10A x^2 + (12A + 10B)x + (2A + 6B + 10C)
deve ser igual a
2x^2 - 12x + 18.
Igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} 10A = 2,\\\\ 12A + 10B = -12,\\\\ 2A + 6B + 10C = 18. \end{cases}
Da primeira equação vem (A = \tfrac{1}{5}]. Substituindo na segunda:
12\cdot\tfrac{1}{5} + 10B = -12 \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac{36}{25}.
Na terceira:
2\cdot\tfrac{1}{5} + 6\Bigl(-\tfrac{36}{25}\Bigr) + 10C = 18 \;\Longrightarrow\; C = \tfrac{328}{125}.
Portanto
y_p(x) = \tfrac{1}{5}x^2 - \tfrac{36}{25}x + \tfrac{328}{125}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \tfrac{1}{5}x^2 - \tfrac{36}{25}x + \tfrac{328}{125}.

Resposta

y(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \frac{1}{5}x^2 - \frac{36}{25}x + \frac{328}{125}.

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