Questão 1. (4,5) Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias a seguir com todos os detalhes.
(1,5) y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+10 y=2 x^{2}-12 x+18
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 10y = 2x^2 - 12x + 18.
O método envolve duas partes: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois obtemos uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea é
y'' + 6y' + 10y = 0.
A equação característica é
r^2 + 6r + 10 = 0,
cuja solução é
r = -3 \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).
Passo 3
Para a solução particular y_p\) usamos um polinômio de grau 2, isto é
\[y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.