Sejam
e
dois pontos em
e
uma função de classe
. Usando a regra da cadeia, verifique que a derivada da função de uma variável
, é dada por
Dica: considere uma componente por vez.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos dois vetores,
e
, em um espaço de
dimensões, e uma função
que é diferenciável (
). Queremos encontrar a derivada em relação a
da função
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e usar o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. Aqui,
é uma real que ajusta a combinação linear dos vetores
e
. À medida que
varia,
percorre uma linha no espaço
. Então,
nos dá o valor da função
ao longo dessa linha.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
em relação a
, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. Aqui,
depende de
, que, por sua vez, depende de
.
Passo 4
Vamos considerar uma componente de cada vez. Seja
e
. Então,
. A função
atua sobre esse vetor de
dimensões.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é a taxa de variação de
ao longo da direção de
. Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 6
Calculando a derivada dentro da soma, notamos que
. Então, a expressão fica:
Passo 7
Esse somatório é exatamente o produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor
. O gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
:
Portanto, podemos escrever: