Sejam x e y dois pontos em R^n e f: R^n R uma função de classe C^1. Usando a regra da cadeia, verifique que a derivada da função de uma variável phi(t)=f(x+t y), t in R, é dada por
dd t phi(t)=nabla f(x+t y) cdot y
Dica: considere uma componente por vez.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos dois vetores, x e y, em um espaço de n dimensões, e uma função f que é diferenciável ( C^1). Queremos encontrar a derivada em relação a t da função phi(t) = f(x + ty) usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e usar o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função phi(t) = f(x + ty). Aqui, t é uma real que ajusta a combinação linear dos vetores x e y. À medida que t varia, x + ty percorre uma linha no espaço R^n. Então, phi(t) nos dá o valor da função f ao longo dessa linha.

Passo 3

Para encontrar a derivada de phi(t) em relação a t, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. Aqui, f depende de x + ty, que, por sua vez, depende de t.

Passo 4

Vamos considerar uma componente de cada vez. Seja x = (x1, x2, dots, xn) e y = (y1, y2, dots, yn). Então, x + ty = (x1 + t y1, x2 + t y2, dots, xn + t yn). A função f atua sobre esse vetor de n dimensões.

Passo 5

A derivada de phi(t) em relação a t é a taxa de variação de f ao longo da direção de y. Aplicando a regra da cadeia, temos:
ddt phi(t) = sumi=1^n partial fpartial xi (x + ty) cdot ddt(xi + t yi)

Passo 6

Calculando a derivada dentro da soma, notamos que ddt(xi + t yi) = yi. Então, a expressão fica:
ddt phi(t) = sumi=1^n partial fpartial xi (x + ty) cdot yi

Passo 7

Esse somatório é exatamente o produto escalar entre o gradiente de f no ponto x + ty e o vetor y. O gradiente nabla f é o vetor das derivadas parciais de f:
nabla f(x + ty) = ( partial fpartial x1, partial fpartial x2, dots, partial fpartial xn )
Portanto, podemos escrever:
ddt phi(t) = nabla f(x + ty) cdot y

Resposta

dd t phi(t)=nabla f(x+t y) cdot y

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