Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
h(x)=8raizsec (6^tgh(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta h(x)=\frac{8}{\sqrt{\sec\bigl(6^{\tgh(x)}\bigr)}}. Vamos usar regra da cadeia, derivada de secante, de função exponencial e de tangente hiperbólica.

Passo 2

Reescrevemos h(x) em forma de potência para simplificar a aplicação da regra da cadeia:

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia ao expoente externo:

Passo 4

Derivada da secante: se u(x)=6^{\tgh(x)}, então
ddxsec(u)=sec(u)tan(u)cdot u'

Passo 5

Agora derivamos u(x)=6^{\tgh(x)} usando a regra da exponencial:
e temos .

Passo 6

Logo
e portanto

Passo 7

Substituindo tudo em h' e simplificando 8cdot(-tfrac12)=-4 e [sec]^-3/2cdotsec=[sec]^-1/2, obtemos a expressão final.

Passo 8

Chegamos então a

Resposta

h’(x)=-4;6{\tgh(x)}\ln(6);\sech2(x);\tan(6{\tgh(x)});[\sec(6{\tgh(x)})]^{-\tfrac12}

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