Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função composta h(x)=\frac{8}{\sqrt{\sec\bigl(6^{\tgh(x)}\bigr)}}. Vamos usar regra da cadeia, derivada de secante, de função exponencial e de tangente hiperbólica.
Passo 2
Reescrevemos h(x) em forma de potência para simplificar a aplicação da regra da cadeia:
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia ao expoente externo:
Passo 4
Derivada da secante: se u(x)=6^{\tgh(x)}, então
Passo 5
Agora derivamos u(x)=6^{\tgh(x)} usando a regra da exponencial:
e temos .
Passo 6
Logo
e portanto
Passo 7
Substituindo tudo em
e simplificando
e
, obtemos a expressão final.
Passo 8
Chegamos então a
Resposta
h’(x)=-4;6{\tgh(x)}\ln(6);\sech2(x);\tan(6{\tgh(x)});[\sec(6{\tgh(x)})]^{-\tfrac12}