Calcule a área da região delimitada :
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo da área! A pergunta pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas $ x = 1 $, $ y = \sqrt{x} $ e $ y = 0 $. Aqui, vamos usar conceitos de integração, especificamente a integração definida, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
- $ y = \sqrt{x} $: Essa é uma parábola que abre para a direita.
- $ x = 1 $: Essa é uma linha vertical que corta o eixo $ x $ no ponto 1.
- $ y = 0 $: Essa é o eixo $ x $.
Queremos encontrar a área que está abaixo da curva $ y = \sqrt{x} $, à direita de $ y = 0 $, e à esquerda de $ x = 1 $.
Passo 3
Para calcular essa área, vamos integrar a função $ y = \sqrt{x} $ de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. A fórmula da integral definida para a área $ A $ é:
Onde:
- $ a = 0 $
- $ b = 1 $
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Lembrando que $ \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ x^{1/2} $. A integral de $ x^{n} $ é:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A área da região delimitada é $ \dfrac{2}{3} $ unidades quadradas.