Calcule a área da região delimitada :
por x=1 y=raizx e y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo da área! A pergunta pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas $ x = 1 $, $ y = \sqrt{x} $ e $ y = 0 $. Aqui, vamos usar conceitos de integração, especificamente a integração definida, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • $ y = \sqrt{x} $: Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • $ x = 1 $: Essa é uma linha vertical que corta o eixo $ x $ no ponto 1.
  • $ y = 0 $: Essa é o eixo $ x $.
Queremos encontrar a área que está abaixo da curva $ y = \sqrt{x} $, à direita de $ y = 0 $, e à esquerda de $ x = 1 $.

Passo 3

Para calcular essa área, vamos integrar a função $ y = \sqrt{x} $ de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. A fórmula da integral definida para a área $ A $ é:
y = raizx
Onde:
  • $ a = 0 $
  • $ b = 1 $

Passo 4

Vamos calcular a integral:
A = integral0^1 raizx , dx
Lembrando que $ \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ x^{1/2} $. A integral de $ x^{n} $ é:
raizx
Aplicando isso:
x^1/2

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
A = [ 23 x^3/2 ]0^1 = 23 (1)^3/2 - 23 (0)^3/2 = 23 - 0 = 23

Resposta

A área da região delimitada é $ \dfrac{2}{3} $ unidades quadradas.

Exercícios relacionados