Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
h(x)=pi cdot sec ^7(raiz3 x^2-4 x+5x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x)=picdotsec^7!l(raiztfrac3x^2-4x+5x+1r). Esse exercício envolve funções compostas e exige o uso da regra da cadeia, além das derivadas de potência, secante, raiz quadrada e quociente.

Passo 2

Para organizar, definimos duas funções internas: v(x)=3x^2-4x+5x+1 e u(x)=raizv(x). Assim, podemos reescrever h(x)=pi,[sec(u(x))]^7.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em três níveis: primeiro a constante pi, depois a função potência f(y)=y^7 e, por fim, a função secante. Logo, usando f(y)=sec^7y, temos
h'(x)=picdot7sec^6(u(x))cdotl(sec(u(x))tan(u(x))r)cdot u'(x)=7pisec^7(u(x))tan(u(x)),u'(x)

Passo 4

Agora derivamos u(x)=raizv(x)=v(x)^1/2. A derivada de raiz é
u'(x)=tfrac12,v(x)^-1/2,v'(x)=v'(x)2raizv(x)

Passo 5

Calculamos v'(x) pela regra do quociente, onde N=3x^2-4x+5 e D=x+1:
$$v’(x)=\frac{N’,D-N,D’}{D2}=\frac{(6x-4)(x+1)-(3x2-4x+5)}{(x+1)^2}
=\frac{3x2+6x-9}{(x+1)2}.$$

Passo 6

Finalmente, basta substituir v'(x) em u'(x) e depois u'(x) na expressão de h'(x) obtida pela regra da cadeia para ter a derivada completa de h(x).

Resposta

[\n h’(x)=\frac{7\pi,\sec7!\bigl(\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}\bigr),\tan!\bigl(\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}\bigr),(3x2+6x-9)}{2,(x+1)2,\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}}.\n]

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