Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. Esse exercício envolve funções compostas e exige o uso da regra da cadeia, além das derivadas de potência, secante, raiz quadrada e quociente.
Passo 2
Para organizar, definimos duas funções internas:
e
. Assim, podemos reescrever
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia em três níveis: primeiro a constante
, depois a função potência
e, por fim, a função secante. Logo, usando
, temos
Passo 4
Agora derivamos
. A derivada de raiz é
Passo 5
Calculamos
pela regra do quociente, onde
e
:
$$v’(x)=\frac{N’,D-N,D’}{D2}=\frac{(6x-4)(x+1)-(3x2-4x+5)}{(x+1)^2}
=\frac{3x2+6x-9}{(x+1)2}.$$
Passo 6
Finalmente, basta substituir
em
e depois
na expressão de
obtida pela regra da cadeia para ter a derivada completa de
.
Resposta
[\n h’(x)=\frac{7\pi,\sec7!\bigl(\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}\bigr),\tan!\bigl(\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}\bigr),(3x2+6x-9)}{2,(x+1)2,\sqrt{\tfrac{3x2-4x+5}{x+1}}}.\n]