Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
w(x)=ln (tg(x))

Passo 1

Temos a função w(x) = ln(tan(x)), que é uma composição de ln(u) com u = tan(x). Vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas básicas de ln(u) e de tan(x).

Passo 2

Aplicando primeiro a derivada de ln(u):
A regra da cadeia diz que
ddxl[ln(u)r]=u'u
Aqui u(x)=tan(x), então u’(x)=sec^2(x). Logo,

Passo 3

w'(x)=sec^2(x)tan(x)

Passo 4

Agora basta simplificar. Como tan(x)=sin(x)/cos(x) e sec2(x)=1/cos2(x), temos
sec^2(x)tan(x)=1/cos^2(x)sin(x)/cos(x)=1sin(x),cos(x)
que também pode ser escrito como sec(x)·csc(x).

Resposta

w'(x)=sec^2(x)tan(x)=sec(x),csc(x)=1sin(x),cos(x)

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