Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
4^y-3 x^5 yraizy=raizsen(cos (e^y))

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
4^y-3x^5yraizy=raizsinl(cos(e^y)r)
e pede dfracdydx. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do quociente, cadeia e derivadas de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Defina
U = 4^y-3x^5y, V = raizy=y^1/2
Então
U' = ddx(4^y)-ddx(3x^5y) =4^yln(4),y' -l(15x^4y+3x^5y'r),
V' = ddx(y^1/2) =tfrac12,y^-1/2,y'
Pela regra do quociente,
ddx!l(tfracUVr) =U'V - U,V'V^2 =l(4^yln(4),y' -15x^4y -3x^5y'r)raizy -tfrac12(4^y-3x^5y),y^-1/2y'y

Passo 3

Para o lado direito
raizsin(cos(e^y))=(sin(cos(e^y)))^1/2, aplicamos regra da cadeia em duas etapas:
ddxraizsin(cos(e^y)) =12raizsin(cos(e^y)) ;cdotcos(cos(e^y));cdot(-sin(e^y));cdot e^y,y' =-sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y)),y'

Passo 4

Igualando as derivadas e agrupando os termos em y':
l(4^yln(4),y' -15x^4y -3x^5y'r)raizy -tfrac12(4^y-3x^5y),y^-1/2y'y =-sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y)),y'
Extraindo y' no primeiro termo e usando tfrac15x^4yraizyy=15x^4raizy, obtemos
y'l[4^yln(4)raizy-3x^5raizy -4^y-3x^5y2raizyyr] -15x^4raizy = y',-sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y))

Passo 5

Passando o termo sem y' para o outro lado e somando o termo de sin(e^y)cdots, fica
y'l[ 4^yln(4)raizy-3x^5raizy-4^y-3x^5y2raizyy +sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y)) r] =15x^4raizy
Isolando y':
y' =15x^4raizy 4^yln(4)raizy-3x^5raizy -4^y-3x^5y2raizyy +sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y))

Resposta

dydx =15x^4raizy 4^yln(4)raizy-3x^5raizy -4^y-3x^5y2raizyy +sin(e^y)cos(cos(e^y)),e^y2raizsin(cos(e^y))

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