Questão 4

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Usando coordenadas polares calcule a área da elipse:
x^2+4 y^2+16 y=0.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que encontrar a área da elipse dada por
x^2+4y^2+16y=0
Isso é Geometria Analítica + mudança de variáveis (usando coordenadas polares adaptadas).
Pra resolver, vamos:
  1. completar o quadrado em y pra achar a forma padrão da elipse;
  2. fazer uma troca de variáveis (deslocar o centro e usar “polar elíptico”);
  3. calcular a área via integral com jacobiano.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em y:
x^2+4y^2+16y=0 Longrightarrow x^2+4l(y^2+4yr)=0 Longrightarrow x^2+4l[(y+2)^2-4r]=0
Longrightarrow x^2+4(y+2)^2-16=0 Longrightarrow x^2+4(y+2)^2=16
Dividindo tudo por 16, temos a forma padrão
x^216+(y+2)^24=1,
ou seja, elipse centrada em (0,-2) com semi-eixos a=4 (horizontal) e b=2 (vertical).

Passo 3

Agora, a gente troca pra coordenadas “elípticas”:
definimos
u = x, v = y+2,
de modo que a elipse vira tfracu^216+tfracv^24=1.
Em seguida, usamos a parametização
u = 4rcostheta, v = 2rsintheta, rin[0,1], thetain[0,2pi]
Nessa transformação, o jacobiano vale
l|det Jr| = 4cdot2,r = 8r
Então a área da região é
A ;=;integral duplaelipsedx,dy ;=; integral0^2pi!integral0^18r;dr,dtheta

Passo 4

Basta calcular a integral:
A = 8integral0^2pi!dtheta integral0^1r,dr = 8cdot(2pi)cdot12 = 8pi

Resposta

8pi

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