Questão 4
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Usando coordenadas polares calcule a área da elipse:
.
Resposta:
Vale 1,00 ponto(s).
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que encontrar a área da elipse dada por
Isso é Geometria Analítica + mudança de variáveis (usando coordenadas polares adaptadas).
Pra resolver, vamos:
Pra resolver, vamos:
- completar o quadrado em
pra achar a forma padrão da elipse; - fazer uma troca de variáveis (deslocar o centro e usar “polar elíptico”);
- calcular a área via integral com jacobiano.
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado em
:
Dividindo tudo por
, temos a forma padrão
ou seja, elipse centrada em
com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Passo 3
Agora, a gente troca pra coordenadas “elípticas”:
definimos
definimos
de modo que a elipse vira
.
Em seguida, usamos a parametização
Em seguida, usamos a parametização
Nessa transformação, o jacobiano vale
Então a área da região é
Passo 4
Basta calcular a integral: