Calcule a área da região delimitada :
por x=1, y=raizx e x+y=6;

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas x = 1, y = raizx e x + y = 6. O conteúdo principal é cálculo de área entre curvas com integrais definidas. Vamos precisar achar os pontos de interseção, identificar qual função fica por cima e montar a integral apropriada.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas y = raizx e x + y = 6 se cruzam, resolvemos raizx = 6 - x. Ao quadrado, obtemos:
x = (6 - x)^2 implies x = 36 - 12x + x^2 implies x^2 - 13x + 36 = 0

Passo 3

As soluções são x = 4 e x = 9. Testando em raizx = 6 - x, vemos que x = 4 2 = 2, mas x = 9 daria 3 = -3, o que é impossível. Logo, a interseção relevante é em x = 4, com y = 2.

Passo 4

A fronteira vertical é x = 1, então o intervalo de integração será de x = 1 até x = 4.

Passo 5

No intervalo [1,4], a reta é a função superior: ysup = 6 - x, e a curva fica embaixo: yinf = raizx. A área A vale
A = integral1^4 l[(6 - x) - raizxr] ,dx

Passo 6

Vamos achar a antiderivada. Separando os termos:
integral (6 - x) ,dx = 6x - tfracx^22, integral raizx ,dx = tfrac23x^3/2

Passo 7

Portanto a antiderivada da integranda é 6x - tfracx^22 - tfrac23x^3/2. Avaliando de 1 a 4:
l[6x - tfracx^22 - tfrac23x^3/2r]1^4 = l(24 - 8 - tfrac23cdot 8r) - l(6 - tfrac12 - tfrac23r)

Passo 8

Dentro dos parênteses: em x=4 16 - tfrac163 = tfrac323, e em x=1 6 - tfrac12 - tfrac23 = tfrac296. A diferença é
A = tfrac323 - tfrac296 = tfrac64 - 296 = tfrac356

Resposta

\tfrac{35}{6}

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