Calcular as derivadas parciais de 1 ạordem das funções:
z=\sqrt{x y}-x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = \sqrt{x\,y} \;-\; x\,y.
Como estamos em variáveis x e y, para \partial z/\partial x tratamos y como constante, e para \partial z/\partial y tratamos x como constante. Vamos usar a regra da cadeia para \sqrt{xy}=(xy)^{1/2} e a regra do produto para x\,y.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Escrevendo
z = (xy)^{1/2} - xy,
temos
  • derivada de (xy)^{1/2} em relação a x: \frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot\frac{\partial(xy)}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}},
  • derivada de -xy em relação a x: -\,\frac{\partial(xy)}{\partial x} = -\,y.
Somando,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt{xy}} \;-\; y.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
De forma análoga,
  • derivada de (xy)^{1/2} em relação a y: \frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot\frac{\partial(xy)}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}},
  • derivada de -xy em relação a y: -\,\frac{\partial(xy)}{\partial y} = -\,x.
Somando,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{2\sqrt{xy}} \;-\; x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt{x\,y}} - y
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{2\sqrt{x\,y}} - x

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