Calcular as derivadas parciais de 1 ạordem das funções:
z=e^{x^{2}+y^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = e^{x^{2} + y^{2} - 4}.
O conteúdo envolvido é a derivação de uma exponencial composta, que usaremos a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, note que z = e^{u} com
u = x^{2} + y^{2} - 4.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = 2x (tratando y como constante), segue
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, usamos o mesmo procedimento:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = 2y, de modo que
\frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

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