Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\sin(x)\,dx
e, caso ela convirja, calcular o valor. Vamos usar a definição de integral imprópria como
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\sin(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro encontramos a primitiva de \sin(x). Sabemos que
\int\sin(x)\,dx = -\cos(x) + C.
Logo, para um limite superior b,
\int_{0}^{b}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{b} = \bigl(-\cos(b)\bigr) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -\cos(b) + 1.

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\bigl(1 - \cos(b)\bigr).
Como \cos(b) oscila indefinidamente entre -1 e 1, o termo 1-\cos(b) oscila entre 0 e 2 e não tende a um valor único.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{\infty}\sin(x)\,dx diverge.

Exercícios relacionados