Calcular as derivadas parciais de 1 āordem das funções:
z=e^{x^{2}+y^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
z = e^{x^{2} + y^{2} - 4}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que, para \displaystyle z = e^{g(x,y)},
temos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = e^{g(x,y)} \,\frac{\partial g}{\partial x}
e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = e^{g(x,y)} \,\frac{\partial g}{\partial y}.

Passo 2

Definimos
g(x,y) = x^{2} + y^{2} - 4.
Para computar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, calculamos
\frac{\partial g}{\partial x} = 2x
e aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{g(x,y)} \cdot 2x = 2x\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} encontramos
\frac{\partial g}{\partial y} = 2y
e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{g(x,y)} \cdot 2y = 2y\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2} + y^{2} - 4},
\frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2} + y^{2} - 4}.

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