Calcular as derivadas parciais de 1 āordem das funções:
z=(x+y) e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = (x+y)\,e^{x+2y}.
O conteúdo envolvido é o uso da regra do produto e da regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial z}{\partial x}. Tratando y como constante, aplicamos a regra do produto a (x+y) e e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial x} = \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(x+y)}_{=1}\,e^{x+2y} + (x+y)\,\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}e^{x+2y}}_{=e^{x+2y}\cdot1} = e^{x+2y} + (x+y)\,e^{x+2y}.
Fatorando e^{x+2y}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}\,(x+y+1).

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial z}{\partial y}. Tratando x como constante, temos novamente regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y} = \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}(x+y)}_{=1}\,e^{x+2y} + (x+y)\,\underbrace{\frac{\partial}{\partial y}e^{x+2y}}_{=e^{x+2y}\cdot2} = e^{x+2y} + 2(x+y)\,e^{x+2y}.
Fatorando e^{x+2y}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+2y}\,(2x+2y+1).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}\,(x+y+1), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+2y}\,(2x+2y+1).

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