Faça o gráfico da função f(x)=\operatorname{sen}(\pi x) nela retangular [-1,1] por [-1,1]. Comente a simetria em relação à origem.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar, em um retângulo de eixos com x variando de -1 a 1 e y variando de -1 a 1, o gráfico da função
f(x)=\sin(\pi x)
e comentar sua simetria em relação à origem. Aqui o conteúdo é interpretação de gráfico de uma função trigonométrica elementar e reconhecimento de função ímpar.

Passo 2

Identificamos os pontos mais importantes no intervalo [-1,1]. Como
f(x)=\sin(\pi x),
temos: \;x=-1\implies f(-1)=\sin(-\pi)=0, \;x=-\tfrac12\implies f(-\tfrac12)=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, \;x=0\implies f(0)=\sin(0)=0, \;x=\tfrac12\implies f(\tfrac12)=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1, \;x=1\implies f(1)=\sin(\pi)=0.

Passo 3

Com esses pontos, esboçamos a curva suave que:
  • Parte de (-1,0),
  • Cai até \bigl(-\tfrac12,-1\bigr),
  • Sobe passando em (0,0) até \bigl(\tfrac12,1\bigr),
  • E retorna a (1,0).
    Entre esses pontos, a função varia de forma contínua e diferenciável, traçando um “único lobo” de seno.

Passo 4

Para a simetria, notamos que
f(-x)=\sin\bigl(\pi(-x)\bigr)=\sin(-\pi x)=-\sin(\pi x)=-f(x),
ou seja, f é função ímpar. Graficamente, isso significa que, para cada ponto (x,y) no gráfico, existe o ponto (-x,-y). Logo, o gráfico é simétrico em relação à origem.

Resposta

O gráfico de f(x)=\sin(\pi x) no retângulo [-1,1]\times[-1,1] é a curva seno passando pelos pontos
(-1,0),\;(-\tfrac12,-1),\;(0,0),\;(\tfrac12,1),\;(1,0)
e interpolada suavemente entre eles. Como f(-x)=-f(x), a curva é simétrica em relação à origem, caracterizando uma função ímpar.

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