Determine o polígono regular no qual a soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 1980^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede o número de lados n de um polígono regular tal que a soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos seja igual a 1980^\circ. O conteúdo aqui é geometria de polígonos; vamos usar as fórmulas para a soma dos ângulos internos e externos.

Passo 2

Em um polígono convexo de n lados, podemos dividir o polígono em n-2 triângulos, cada um com 180^\circ. Logo, a soma dos ângulos internos vale
(n-2)\cdot180^\circ.

Passo 3

Também é fato geral que a soma dos ângulos externos, um em cada vértice (medidos ao “girar” em torno do polígono), vale
360^\circ.

Passo 4

Somando as duas expressões e igualando a 1980^\circ, temos
(n-2)\cdot180^\circ + 360^\circ = 1980^\circ.
No lado esquerdo podemos agrupar termos:
(n-2)\cdot180^\circ + 360^\circ =180n^\circ -360^\circ +360^\circ =180n^\circ.

Passo 5

Portanto a equação fica
180n^\circ = 1980^\circ \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{1980}{180} = 11.

Resposta

O polígono regular é o de 11 lados (hendecágono).

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