Em qual polígono regular a medida de um ângulo interno é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo?

Passo 1

O enunciado pergunta em qual polígono regular a medida de um ângulo interno é igual a oito vezes a medida de um ângulo externo. Esse problema envolve a fórmula dos ângulos interno e externo de um polígono regular de n lados.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados, cada ângulo externo vale
\alpha_{\text{ext}} = \frac{360^\circ}{n}.

Passo 3

Cada ângulo interno corresponde a
\alpha_{\text{int}} = 180^\circ - \alpha_{\text{ext}} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.

Passo 4

Impondo a condição \alpha_{\text{int}} = 8\,\alpha_{\text{ext}}, temos
180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = 8 \cdot \frac{360^\circ}{n}.

Passo 5

Rearranjando a equação:
180^\circ = 9 \cdot \frac{360^\circ}{n} \quad\Longrightarrow\quad 180^\circ = \frac{3240^\circ}{n} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{3240^\circ}{180^\circ} = 18.

Passo 6

Verificação rápida: para n=18, \alpha_{\text{ext}}=360^\circ/18=20^\circ e \alpha_{\text{int}}=180^\circ-20^\circ=160^\circ,
e de fato 160^\circ = 8\times20^\circ.

Resposta

O polígono regular é o de 18 lados (octadecágono).

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