Calcule.
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4}x \,\cos(2x)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a redução de potências de seno em termos de cossenos de ângulos múltiplos, e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade de redução de potência
\operatorname{sen}^{4}x = \Bigl(\frac{1-\cos(2x)}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\bigr).
Em seguida expressamos \cos^{2}(2x) por
\cos^{2}(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2},
logo
\operatorname{sen}^{4}x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 3

Substituindo em \operatorname{sen}^{4}x\cos(2x) e distribuindo, temos
\operatorname{sen}^{4}x\,\cos(2x) = \Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)\cos(2x).
Isso gera três termos:
\frac{3}{8}\cos(2x) - \frac{1}{2}\cos^{2}(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\cos(2x).
Agora usamos
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}, \quad \cos(4x)\cos(2x)=\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2},
para reescrever tudo como soma de constantes e cossenos de múltiplos de x.

Passo 4

Fazendo as substituições e coletando, obtemos
\operatorname{sen}^{4}x\,\cos(2x) = -\frac{1}{4} + \frac{7}{16}\cos(2x) - \frac{1}{4}\cos(4x) + \frac{1}{16}\cos(6x).
Integrando termo a termo:
\int -\tfrac{1}{4}\,dx = -\frac{x}{4},\quad \int \tfrac{7}{16}\cos(2x)\,dx = \frac{7}{16}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} = \frac{7}{32}\operatorname{sen}(2x),
\int -\tfrac{1}{4}\cos(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cdot\frac{\operatorname{sen}(4x)}{4} = -\frac{1}{16}\operatorname{sen}(4x), \quad \int \tfrac{1}{16}\cos(6x)\,dx = \frac{1}{16}\cdot\frac{\operatorname{sen}(6x)}{6} = \frac{1}{96}\operatorname{sen}(6x).

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^{4}x\,\cos(2x)\,dx = -\frac{x}{4} + \frac{7}{32}\operatorname{sen}(2x) - \frac{1}{16}\operatorname{sen}(4x) + \frac{1}{96}\operatorname{sen}(6x) + C. }

Exercícios relacionados