Determine o número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo externo mede 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado fala de um polígono regular cujo ângulo externo mede 30^\circ. Para achar o número de diagonais, vamos primeiro determinar o número de lados n usando a relação entre ângulo externo e n, e em seguida aplicar a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo.

Passo 2

Em qualquer polígono regular o ângulo externo \alpha_{\text{ext}} é dado por
\alpha_{\text{ext}} = \frac{360^\circ}{n}.
Como \alpha_{\text{ext}}=30^\circ, temos
\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12.
Logo, o polígono é um dodecágono n=12.

Passo 3

O número de diagonais D de um polígono convexo de n lados é
D = \frac{n(n-3)}{2}.
Substituindo n=12,
D = \frac{12 \times (12-3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = 54.

Resposta

O polígono possui 54 diagonais.

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