Exemplo 1: Calcule, se existirem, os seguintes limites.
\lim _{p \rightarrow 0} p^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{p^{2023}}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{p\to0} p^{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{p^{2023}}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou “Sandwich”), lembrando que a função \sin(x) é sempre limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 \le \sin(x)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por p^2 (que é não-negativo para todo p), obtemos
-p^2 \le p^2\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{p^{2023}}\Bigr)\le p^2.

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que “confinam” a expressão:
\lim_{p\to0} (-p^2) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{p\to0} p^2 = 0.

Passo 4

Como p^2\sin(1/p^{2023}) está “espremido” entre -p^2 e p^2, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{p\to0} p^{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{p^{2023}}\Bigr)=0.

Resposta

0

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