Calcule a integral de linha \int_{\mathbf{C}} \mathbf{F} \cdot d r, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
\begin{aligned} & \mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k} \\\ & \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde o campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=y z\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x y\,\mathbf{k}
e a curva C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+t^{3}\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le2.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial em curva parametrizada. Vamos usar a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,t^{2},t^{3}\bigr)=(1,2t,3t^{2}).

Passo 3

Avaliar o campo em \mathbf{r}(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(t^{2}\cdot t^{3},\;t\cdot t^{3},\;t\cdot t^{2}\bigr) =(t^{5},\,t^{4},\,t^{3}).

Passo 4

Fazer o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
t^{5}\cdot1 \;+\;t^{4}\cdot(2t)\;+\;t^{3}\cdot(3t^{2}) = t^{5} +2t^{5}+3t^{5}=6t^{5}.

Passo 5

Montar e calcular a integral escalar:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2}6t^{5}\,dt =6\int_{0}^{2}t^{5}\,dt =6\left[\frac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{2} =\bigl[t^{6}\bigr]_{0}^{2} =2^{6}-0=64.

Resposta

64

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