Calcular as derivadas parciais da função \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\cos \left(4 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de \displaystyle F(x,y)=\cos\bigl(4x^{2}y\bigr).
O conteúdo aqui é derivada parcial e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos achar \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}.
Defina a função interna
u(x,y)=4x^{2}y.
Como \displaystyle F(x,y)=\cos\bigl(u(x,y)\bigr), pela regra da cadeia temos
\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl[\cos u\bigr]\biggr|_{u=4x^{2}y}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Sabemos que
\frac{d}{du}[\cos u]=-\,\sin u \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}y\bigr)=8xy.
Logo,
\frac{\partial F}{\partial x} =-\sin\bigl(4x^{2}y\bigr)\cdot(8xy) =-8xy\,\sin\bigl(4x^{2}y\bigr).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}.
Mantendo u(x,y)=4x^{2}y, pela mesma regra da cadeia:
\frac{\partial F}{\partial y} =-\sin\bigl(4x^{2}y\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{2}y\bigr).
Como x é tratado como constante ao diferenciar em relação a y,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{2}y\bigr)=4x^{2}.
Portanto,
\frac{\partial F}{\partial y} =-\sin\bigl(4x^{2}y\bigr)\cdot4x^{2} =-4x^{2}\,\sin\bigl(4x^{2}y\bigr).

Resposta

\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=-8xy\,\sin\bigl(4x^{2}y\bigr)
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=-4x^{2}\,\sin\bigl(4x^{2}y\bigr)

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