Sendo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=e^{\left(2 x^{2}+y^{2}\right)}, calcular as SOMA das derivadas parciais no ponto F^{\prime}(0,0).

Passo 1

O enunciado pede a soma das derivadas parciais da função
F(x,y) = e^{\bigl(2x^{2} + y^{2}\bigr)}
no ponto (0,0). O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos achar \frac{\partial F}{\partial x} e \frac{\partial F}{\partial y} em geral e depois avaliá-las em (0,0).

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y) = e^{\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr)} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr) = e^{\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr)} \cdot 4x.
Calcular a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) = e^{\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr)} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr) = e^{\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr)} \cdot 2y.

Passo 3

Avaliar cada uma em (0,0):
\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) = e^{0}\cdot 4\cdot 0 = 0, \quad \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) = e^{0}\cdot 2\cdot 0 = 0.

Passo 4

Somar os valores obtidos:
\frac{\partial F}{\partial x}(0,0) + \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) = 0 + 0 = 0.

Resposta

0

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