Calcular as integrais duplas:
\int_{0}^{3} \int_{1}^{2}\left(6 x y^{2}+9 x^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\int_{0}^{3}\!\int_{1}^{2}\bigl(6xy^{2}+9x^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Aqui o domínio é retangular em (x,y): 0\le x\le3, 1\le y\le2. Vamos integrar primeiro em y e depois em x, usando linearidade da integral.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\bigl(6xy^{2}+9x^{2}\bigr)\,dy =6x\int_{1}^{2}y^{2}\,dy\;+\;9x^{2}\int_{1}^{2}1\,dy.
Agora
\int_{1}^{2}y^{2}\,dy =\biggl[\frac{y^{3}}{3}\biggr]_{1}^{2} =\frac{8-1}{3} =\frac{7}{3},
\int_{1}^{2}1\,dy =[y]_{1}^{2} =2-1 =1.
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\int_{1}^{2}\bigl(6xy^{2}+9x^{2}\bigr)\,dy =6x\cdot\frac{7}{3}+9x^{2} =14x+9x^{2}.

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\bigl(14x+9x^{2}\bigr)\,dx =14\int_{0}^{3}x\,dx +9\int_{0}^{3}x^{2}\,dx.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{3}x\,dx =\biggl[\frac{x^{2}}{2}\biggr]_{0}^{3} =\frac{9}{2},
\int_{0}^{3}x^{2}\,dx =\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{0}^{3} =\frac{27}{3} =9.
Portanto
\int_{0}^{3}\bigl(14x+9x^{2}\bigr)\,dx =14\cdot\frac{9}{2}+9\cdot9 =63+81 =144.

Resposta

144

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