N(t) = L / (1 + C e^(-k L t))
onde N(0) = N0 é a população inicial, L é a população limite, (isto é: se t -> infinito, então N(t) -> L), C é uma medida de quanto espaço há para crescer, dada por
C = L/N0 - 1
e k > 0 é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação: (taxa de variação instantânea de N(t) no momento t = k N(t) (L - N(t)). A função logística é utilizada não só para modelar o crescimento de organismos, mas também é frequentemente utilizada para modelar a propagação de doenças e rumores.
O número de pessoas N, em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato N(t) = 84 / (1 + 2799 e^(-t))
onde t ≥ 0 é o número de dias depois do dia 01 de abril de 2009.
(a) Determine e interprete N(0);

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função logística que modela o número de pessoas, em centenas, que ouviram um boato ao longo do tempo. A função é:
Queremos descobrir o valor de , ou seja, o número de pessoas que ouviram o boato no dia inicial (quando ). Para isso, precisamos entender a função logística e como ela se comporta nesse ponto específico.

Passo 2

Para encontrar , basta substituir na função:
Sabemos que , então:
Agora, fazendo a divisão:

Passo 3

Como está medido em centenas de pessoas, significa que, no dia inicial, aproximadamente 3 pessoas ouviram o boato.

Resposta

No dia inicial, , o que corresponde a aproximadamente 3 pessoas que ouviram o boato.

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