Calcular as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo:
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y) = x^2-y^2x^2+y^2,
definida para (x,y)neq (0,0). O conteúdo envolve diferenciação em variáveis múltiplas, aplicando a regra do quociente para funções
N(x,y)=x^2-y^2 e D(x,y)=x^2+y^2

Passo 2

Para partial fpartial x usamos a regra do quociente:
partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2
Calculamos
partial Npartial x=2x, partial Dpartial x=2x,
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partial fpartial x =2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 =4x,y^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para partial fpartial y aplicamos de novo a regra do quociente:
partial fpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2
Temos
partial Npartial y=-2y, partial Dpartial y=2y,
então
partial fpartial y =-2y(x^2+y^2)-2y(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 =-4x^2,y(x^2+y^2)^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) =4x,y^2(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =-4x^2,y(x^2+y^2)^2

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