se
então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma soma infinita da forma
que iguala a 7. A gente precisa descobrir o valor de
que satisfaz essa igualdade. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente séries geométricas, e a função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite o entendimento. Sabemos que
. Isso transforma a nossa soma em uma série geométrica onde a razão da série é
.
Passo 3
Agora, lembrando como funciona uma série geométrica infinita: se a razão
está entre -1 e 1 (ou seja,
), a soma da série é dada por:
Onde
é o primeiro termo da série. No nosso caso, o primeiro termo quando
é
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da soma da série geométrica, temos:
Queremos encontrar
, então vamos resolver essa equação para
.
Passo 5
Primeiro, vamos inverter os dois lados da equação para facilitar:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para encontrar
, aplicamos a função logarítmica na base 2 em ambos os lados da equação:
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz a igualdade dada é: