se sumn=0^infty 2^n x=7 então:
x=log 2(6 / 7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma soma infinita da forma sumn=0^infty 2^n x que iguala a 7. A gente precisa descobrir o valor de x que satisfaz essa igualdade. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especificamente séries geométricas, e a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 2^n x de uma forma que facilite o entendimento. Sabemos que 2^n x = (2^x)^n . Isso transforma a nossa soma em uma série geométrica onde a razão da série é r = 2^x .

Passo 3

Agora, lembrando como funciona uma série geométrica infinita: se a razão r está entre -1 e 1 (ou seja, |r| < 1 ), a soma da série é dada por:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo da série. No nosso caso, o primeiro termo quando n = 0 é 2^0 cdot x = 1 .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da soma da série geométrica, temos:
7 = 11 - 2^x
Queremos encontrar x , então vamos resolver essa equação para x .

Passo 5

Primeiro, vamos inverter os dois lados da equação para facilitar:
1 - 2^x = 17
Agora, isolamos 2^x :
2^x = 1 - 17 = 67

Passo 6

Para encontrar x , aplicamos a função logarítmica na base 2 em ambos os lados da equação:
x = log2(67)

Resposta

Portanto, o valor de x que satisfaz a igualdade dada é:
x = log2(67)

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