Qual das séries abaixo é convergente?
sumn=1^infty 7^n n!(n+7)!

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^infty 7^n,n!(n+7)!
O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = 7^n,n!(n+7)!
Para aplicar o teste da razão, calculamos a razão
an+1an = 7^,n+1,(n+1)!/(n+8)!7^n,n!/(n+7)! =7;(n+1)!n!;(n+7)!(n+8)!

Passo 3

Simplificando a razão temos
an+1an =7;n+1,n+8,
Tomando o limite quando ntoinfty,
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty7;n+1n+8 =7

Passo 4

Como o resultado do teste da razão é L=7>1, a série diverge. Pelo critério da razão, se L>1 então a série não converge.

Resposta

A série diverge, logo não é convergente.

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