se
então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma soma infinita onde cada termo é
e a soma totaliza 7. O conteúdo aqui envolve séries geométricas e o uso de logaritmos para encontrar o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries infinitas e como aplicar logaritmos para isolar a variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a soma dada é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo
é
e a razão
é
. Então, a série fica:
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica infinita converge para:
Aplicando isso à nossa série:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o 7:
Passo 5
Vamos isolar o termo que contém
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo de base 2 em ambos os lados da equação:
Rearranjando para deixar a expressão positiva:
No entanto, para manter a expressão positiva conforme a questão sugere, consideramos: