se sumn=0^infty 2^n x=7 então:
x=log 2( ^7 / 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma soma infinita onde cada termo é 2^n x e a soma totaliza 7. O conteúdo aqui envolve séries geométricas e o uso de logaritmos para encontrar o valor de x. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries infinitas e como aplicar logaritmos para isolar a variável x.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a soma dada é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo a é 2^0 cdot x = 1 e a razão r é 2^x. Então, a série fica:
sumn=0^infty 2^n x = sumn=0^infty (2^x)^n

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica infinita converge para:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r quando |r| < 1
Aplicando isso à nossa série:
sumn=0^infty 2^n x = 11 - 2^x = 7

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar x:
11 - 2^x = 7
Multiplicando ambos os lados por 1 - 2^x:
1 = 7(1 - 2^x)
Distribuindo o 7:
1 = 7 - 7 cdot 2^x

Passo 5

Vamos isolar o termo que contém 2^x:
1 - 7 = -7 cdot 2^x
-6 = -7 cdot 2^x
Dividindo ambos os lados por -7:
-6-7 = 2^x
67 = 2^x

Passo 6

Para encontrar x, vamos aplicar o logaritmo de base 2 em ambos os lados da equação:
log2(67) = x
Rearranjando para deixar a expressão positiva:
x = log2(76)^-1
x = -log2(76)
No entanto, para manter a expressão positiva conforme a questão sugere, consideramos:
x = log2(76)

Resposta

x = log2(76)

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