Calcular as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções a seguir.
f(x, y, z)=e^2 x z^2+13 y ln (y z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=e^2xz^2+13yln(yz)
O conteúdo é diferenciação parcial, onde em cada derivada consideramos uma variável como variável principal e as outras como constantes. Vamos usar regras de derivada de exponencial, logaritmo e produto/quociente.

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x.
O termo e^2xz^2 depende de x via o expoente 2xz^2, e ln(yz)/(3y) é constante em relação a x. Portanto
partialpartial xe^2xz^2 =e^2xz^2cdotpartialpartial x(2xz^2) =2z^2e^2xz^2
e
partialpartial x!l(tfrac13yln(yz)r)=0
Logo,
partial fpartial x=2z^2e^2xz^2

Passo 3

Cálculo de partial f/partial y.
O termo e^2xz^2 é constante em relação a y. Para
13yln(yz)=13ln(yz),y^-1,
usamos a regra do produto entre u=ln(yz) e v=y^-1:
u'=1y, v'=-y^-2
Então
partialpartial yl(tfrac13u,vr) =13l(u'v+u,v'r) =13l(1yy^-1-ln(yz),y^-2r) =1-ln(yz)3y^2
Logo,
partial fpartial y=1-ln(yz)3y^2

Passo 4

Cálculo de partial f/partial z.
Para e^2xz^2 vale
partialpartial ze^2xz^2 =e^2xz^2cdotpartialpartial z(2xz^2) =4xz,e^2xz^2
Para 13yln(yz) tratamos 1/(3y) como constante e derivamos ln(yz):
partialpartial zln(yz)=1z,
portanto
partialpartial z!l(tfrac13yln(yz)r) =13ycdot1z =13yz
Logo,
partial fpartial z=4xz,e^2xz^2+13yz

Resposta

partial fpartial x=2z^2e^2xz^2,
partial fpartial y=1-ln(yz)3y^2,
partial fpartial z=4xz,e^2xz^2+13yz

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