Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.
(a) Mostre que, para todo
, onde
é a curvatura em
;
(b) Prove que se
, para todo
, então
é uma reta.
(a) Mostre que, para todo
(b) Prove que se
Passo 1
O enunciado trata de uma curva
parametrizada pelo comprimento de arco, ou seja,
para todo
. Precisamos mostrar duas coisas: (a) que a curvatura satisfaz
e (b) que, se
para todo
, então
é uma reta.
Passo 2
Definimos o vetor unitário tangente à curva como
Por definição de curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco, tem-se
Passo 3
Como
, basta derivar para obter
Logo
o que prova a parte (a).
Passo 4
Na parte (b), se
para todo
então, pela parte (a),
. Assim
para todo
, o que implica que
é constante. Integrando,
com
e
constantes em
. Essa é a equação geral de uma reta.
Resposta
(a)
.
(b) Se então
é reta.
(b) Se