Seja alpha: I longrightarrow R^2 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.
(a) Mostre que, para todo t in I, k(t)=|alpha^prime prime(t)|, onde k(s) é a curvatura em alpha(t);
(b) Prove que se k(t)=0, para todo t, então alpha é uma reta.

Passo 1

O enunciado trata de uma curva alphacolon ItoR^2 parametrizada pelo comprimento de arco, ou seja, |alpha'(t)|=1 para todo tin I. Precisamos mostrar duas coisas: (a) que a curvatura satisfaz
k(t)=|alpha''(t)|,
e (b) que, se k(t)=0 para todo t, então alpha é uma reta.

Passo 2

Definimos o vetor unitário tangente à curva como
T(t)=alpha'(t)
Por definição de curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco, tem-se
k(t)=|T'(t)|

Passo 3

Como T(t)=alpha'(t), basta derivar para obter
T'(t)=alpha''(t)
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k(t)=|T'(t)|=|alpha''(t)|,
o que prova a parte (a).

Passo 4

Na parte (b), se k(t)=0 para todo t então, pela parte (a), |alpha''(t)|=0. Assim alpha''(t)=0 para todo t, o que implica que alpha'(t) é constante. Integrando,
alpha(t)=v,t+p0,
com v e p0 constantes em R^2. Essa é a equação geral de uma reta.

Resposta

(a) k(t)=|alpha''(t)|.
(b) Se k(t)=0 então alpha é reta.

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