Para um cilindro -1 <= z <= 1, x^2+y^2 <= 1, seja seu tensor de inércia
Ii j=integral tripla(r^2 de<ai j-xi xj) d x d y d z, r^2=xi xi
Calcule (xk xk de<ai j-xi xj) xj. Qual a ordem deste tensor?

Passo 1

O enunciado define o tensor de segunda ordem
Tij = xk xk ,de<aij ;-; xi xj
e pede que a gente contraia em j multiplicando por xj, ou seja, calcule
Tij,xj = l(xk xk,de<aij - xi xjr),xj
O conteúdo aqui é simplesmente aplicar a convenção de soma de Einstein e usar a propriedade da delta de Kronecker para reduzir índices.

Passo 2

Primeiro termo:
xk xk,de<aij,xj = xk xk,( de<aij,xj ) = xk xk,xi = r^2,xi,
onde definimos r^2 = xk xk.

Passo 3

Segundo termo:
xi xj,xj = xi,(xj xj) = xi,r^2
Subtraindo os dois termos, temos
Tij,xj = r^2,xi - xi,r^2 = 0

Passo 4

O resultado Ti = Tij,xj tem apenas o índice livre i, isto é, é um vetor (tensor de ordem 1).

Resposta

l(xk xk ,de<aij - xi xjr),xj = 0,
é o vetor nulo, e portanto é um tensor de ordem 1.

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