Calcule as integrais:
integral 1x raizx^2+9 d x

Passo 1

Temos a integral
integral 1x raizx^2+9 , dx
O assunto é integrar funções com raizx^2+a^2 usando substituição trigonométrica, então escolhemos x = 3tantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 3tantheta, calculamos
dx = 3sec^2theta , dtheta,
raizx^2+9 = raiz9tan^2theta+9 = 3sectheta

Passo 3

Substituindo na integral,
integral dxx raizx^2+9 = integral 3sec^2theta , dtheta(3tantheta)(3sectheta) = 13 integral sec^2thetatanthetasectheta , dtheta = 13 integral secthetatantheta , dtheta = 13 integral csctheta , dtheta

Passo 4

Usando a integral padrão
integral csctheta , dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C,
aplicamos no nosso caso:
13 integral csctheta , dtheta = -13 lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 5

Agora, em termos de x, temos
csctheta = raizx^2+9x, cottheta = 3x
Logo
csctheta + cottheta = raizx^2+9 + 3x

Passo 6

Substituindo essa expressão em I = -13 ln|csctheta + cottheta| + C, obtemos o resultado final em x.

Resposta

13ln|xraizx^2+9+3| + C

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