Calcule as integrais:
integral x-1(x-2)^2(x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função racional
integral x-1(x-2)^2(x-3),dx
O conteúdo da matéria é integração de funções racionais por decomposição em frações parciais. Para resolver, vamos escrever o integrando como soma de termos mais simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Começamos fazendo a decomposição em frações parciais. Suponha que
x-1(x-2)^2(x-3) =Ax-2+B(x-2)^2+Cx-3
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^2(x-3), obtemos a identidade
x-1 = A,(x-2)(x-3) + B,(x-3) + C,(x-2)^2

Passo 3

Vamos expandir e igualar coeficientes em
Somando,
Como isso deve ser igual a , o sistema é
Da primeira equação vem (C=-A]. Substituindo nas outras duas:
Logo e .

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição, o integral vira
integral!l(-2x-2+-1(x-2)^2+2x-3r),dx
Integramos termo a termo:
integral -2x-2,dx = -2lnlvert x-2rvert, integral -1(x-2)^2,dx = 1x-2, integral 2x-3,dx = 2lnlvert x-3rvert

Resposta

-2lnlvert x-2rvert + 1x-2 + 2lnlvert x-3rvert + C

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