Calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função:
z=e^x^2(x^2+y^2)

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
z = e^x^2l(x^2+y^2r)
O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem partial z/partial x e partial z/partial y. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a parte exponencial.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x aplicamos a regra do produto em
z = u(x,y),v(x,y),
onde u(x,y)=e^x^2 e v(x,y)=x^2+y^2.
Primeiro,
partial upartial x = ddxl(e^x^2r) = 2x,e^x^2
pela regra da cadeia.
Em seguida,
partial vpartial x = ddxl(x^2+y^2r) = 2x
Logo,
partial zpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = l(2x,e^x^2r),(x^2+y^2) + e^x^2,(2x)
Fatorando 2x,e^x^2, obtemos
partial zpartial x = 2x,e^x^2l(x^2+y^2+1r)

Passo 3

Para calcular partial zpartial y tratamos x como constante. A única parte que depende de y é x^2+y^2, cuja derivada parcial é
partialpartial y(x^2+y^2) = 2y
Como e^x^2 é constante em relação a y, temos
partial zpartial y = e^x^2,(2y) = 2y,e^x^2

Resposta

partial zpartial x = 2x,e^x^2l(x^2+y^2+1r), partial zpartial y = 2y,e^x^2

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