Resolva a EDO (2 x^prime y^prime+x^2) d x+y^prime x^prime d y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos recapitular: queremos resolver a EDO
(2 x' y' + x^2),dx + (y' x'),dy = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais que envolvem as derivadas recíprocas x’ e y’, sabendo que y’ = dy/dx e x’ = dx/dy, e portanto x’·y’ = 1.

Passo 2

Como x’ e y’ são derivadas recíprocas, temos
x' cdot y' = 1
Com isso, o termo 2 x’y’ vira 2, e y’ x’ vira 1. Substituindo na EDO original, obtemos
(2 + x^2),dx + 1,dy = 0
ou seja
(2 + x^2),dx + dy = 0

Passo 3

Agora temos uma EDO em forma exata trivial ou separável. Podemos reescrever como
dy = -(2 + x^2),dx
Basta integrar ambos os lados em relação a x e y.

Passo 4

Integrando, obtemos
integral dy = -integral (2 + x^2),dx
que dá
y = -2x - x^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é
y + 2x + x^33 = C

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