Considere o PVI
a) Mostre que existe uma única solução do PVI.
b) Encontre a solução do PVI
a) Mostre que existe uma única solução do PVI.
b) Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
com condição inicial
. Vamos mostrar que existe e é única a solução desse PVI e depois encontrá-la. Para isso precisamos usar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para ODEs de primeira ordem e em seguida resolver a equação diferencial exata (ou torná-la exata via fator integrante).
Passo 2
Primeiro escrevemos a ODE em forma explícita
. Dividindo ambos os lados de
por
e isolando
obtemos
A função
e sua derivada parcial
são contínuas num domínio contendo
(basta evitar
e
), logo pelo teorema de Picard–Lindelöf existe e é única a solução que satisfaz
.
Passo 3
Para resolver a ODE recastificamos em forma diferencial exata
com
Vemos que
e
, não iguais, logo não é exata. Procuramos um fator integrante de função só de
:
Passo 4
Multiplicamos a equação por
e obtemos a forma exata
com
Agora
, então existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
e depois ajustamos a parte que depende só de
, encontrando implicitamente
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para achar a constante
. Substituindo em
vemos que
. Por fim reorganizamos para obter solução explícita:
Como
, escolhemos o sinal positivo da raiz.
Passo 6
Simplificando, a solução única do PVI é