Considere o PVI (5 y^2+1) d x-2 x y(x+1) d y=0, y(1)=1
a) Mostre que existe uma única solução do PVI.
b) Encontre a solução do PVI

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI (5y^2+1),dx - 2x y(x+1),dy = 0 com condição inicial y(1)=1. Vamos mostrar que existe e é única a solução desse PVI e depois encontrá-la. Para isso precisamos usar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para ODEs de primeira ordem e em seguida resolver a equação diferencial exata (ou torná-la exata via fator integrante).

Passo 2

Primeiro escrevemos a ODE em forma explícita dy/dx = f(x,y). Dividindo ambos os lados de (5y^2+1),dx - 2x y(x+1),dy = 0 por dx e isolando dy/dx obtemos
dydx = 5y^2+12x y(x+1) =: f(x,y)
A função f(x,y) e sua derivada parcial partial f/partial y são contínuas num domínio contendo (1,1) (basta evitar x=0 e y=0), logo pelo teorema de Picard–Lindelöf existe e é única a solução que satisfaz y(1)=1.

Passo 3

Para resolver a ODE recastificamos em forma diferencial exata
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com
M(x,y)=5y^2+1,
N(x,y)=-2x y(x+1)
Vemos que partial M/partial y =10y e partial N/partial x=-2y(2x+1), não iguais, logo não é exata. Procuramos um fator integrante de função só de x:
mu(x)=expl(integral partial M/partial y - partial N/partial xN,dxr) = x^-6(x+1)^4

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x) e obtemos a forma exata
tilde M,dx + tilde N,dy=0,
com
tilde M=(5y^2+1)x^-6(x+1)^4,
tilde N=-2y,x^-5(x+1)^5
Agora partialtilde M/partial y=partialtilde N/partial x, então existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=tilde M, partialPhipartial y=tilde N
Integramos tilde M em relação a x e depois ajustamos a parte que depende só de y, encontrando implicitamente
Phi(x,y)=-(5y^2+1)5(x+1)^5x^5+15 +C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x=1, y=1 para achar a constante C. Substituindo em
-(5cdot1^2+1)52^51^5+15 +C =0
vemos que C= -tfrac1925+tfrac15= -tfrac1915. Por fim reorganizamos para obter solução explícita:
(5y^2+1)(x+1)^5x^5=192 Longrightarrow y^2=192,x^5-(x+1)^55,(x+1)^5
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo da raiz.

Passo 6

Simplificando, a solução única do PVI é
y(x)=raiz192,x^5-(x+1)^55,(x+1)^5, x>0

Resposta

y(x)=raizdfrac192,x^5-(x+1)^55,(x+1)^5, y(1)=1

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