Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)
lim x 2 raiz5 x-1-3raizx+2-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2raiz5x-1-3raizx+2-2
Aqui o conteúdo envolvido é cálculo de limites com indeterminação do tipo tfrac00 e resolução pela técnica de multiplicação pelo conjugado das raízes.

Passo 2

Verificamos a indeterminação por substituição direta:
raiz5cdot2-1-3=raiz9-3=0 e raiz2+2-2=2-2=0.
Logo temos 0/0, hipoteses atendidas para racionalizar radicais.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raiz5x-1-3, que é raiz5x-1+3:
raiz5x-1-3raizx+2-2 ;times; raiz5x-1+3raiz5x-1+3 = (5x-1)-9(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) = 5x-10(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) = 5(x-2)(raizx+2-2),(raiz5x-1+3)

Passo 4

Agora racionalizamos o fator raizx+2-2 no denominador multiplicando por raizx+2+2:
5(x-2)(raizx+2-2),(raiz5x-1+3) ;times; raizx+2+2raizx+2+2 = 5(x-2)(raizx+2+2)l((raizx+2)^2-2^2r),(raiz5x-1+3)
= 5(x-2)(raizx+2+2)(x+2-4),(raiz5x-1+3) = 5(x-2)(raizx+2+2)(x-2),(raiz5x-1+3) = 5(raizx+2+2)raiz5x-1+3

Passo 5

A expressão ficou livre de indeterminação e contínua em x=2, basta substituir:
limxto25(raizx+2+2)raiz5x-1+3 = 5(2+2)3+3 = 206 = 103

Resposta

103

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