Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem da função abaixo:
z=e^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
z = e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
O que vamos usar: derivada parcial, regra do produto e, no cálculo de \partial z/\partial x, também a regra da cadeia para e^{x^{2}}.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e usamos a regra do produto em
\;u(x)=e^{x^{2}}\; e \;v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Temos
\frac{du}{dx} = e^{x^{2}}\cdot 2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2x.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{du}{dx}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x} = \bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + e^{x^{2}}\,(2x).
Fatorando 2x\,e^{x^{2}}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante. Como
\;e^{x^{2}} é constante em relação a y e \partial(x^{2}+y^{2})/\partial y=2y, segue
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}}\cdot 2y = 2y\,e^{x^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2}}.

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