Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem da função abaixo:
z=(x+y) e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
z = (x+y)\,e^{x+2y}.
O conteúdo envolve a regra do produto (pois há um fator x+y multiplicando e^{x+2y}) e a regra da cadeia (para derivar a exponencial).

Passo 2

Calcular \frac{\partial z}{\partial x} usando a regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y)\,\cdot e^{x+2y} + (x+y)\,\cdot \frac{\partial}{\partial x}e^{x+2y}.
Como \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1 e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}e^{x+2y}=e^{x+2y}, segue
\frac{\partial z}{\partial x} = 1\cdot e^{x+2y} + (x+y)\cdot e^{x+2y} = (1 + x + y)\,e^{x+2y}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial y} de forma análoga:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x+y)\,\cdot e^{x+2y} + (x+y)\,\cdot \frac{\partial}{\partial y}e^{x+2y}.
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1 e
\frac{\partial}{\partial y}e^{x+2y}=2\,e^{x+2y}, portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = 1\cdot e^{x+2y} + (x+y)\cdot 2\,e^{x+2y} = \bigl(1 + 2(x+y)\bigr)\,e^{x+2y}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = (1 + x + y)\,e^{x+2y}.
\frac{\partial z}{\partial y} = \bigl(1 + 2(x+y)\bigr)\,e^{x+2y}.

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