Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem das funções abaixo:
f(x, y)=y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=y^{2}\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis, usando regra do produto (quando a variável aparece em mais de um fator) e regra da cadeia (para a função \ln).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Aqui y é tratado como constante e temos
f(x,y)=y^{2}\,\ln(u),\quad u=x^{2}+y^{2}.
Aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\,\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = y^{2}\,\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,(2x) = \frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Agora f é produto de y^{2} por \ln(u), ambos dependem de y. Usamos regra do produto e, em seguida, regra da cadeia para \ln(u):
\frac{\partial f}{\partial y} = \underbrace{2y}_{\frac{d}{dy}(y^2)}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + y^{2}\,\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,\underbrace{2y}_{\frac{d}{dy}(x^{2}+y^{2})} =2y\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =2y\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

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