Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen} x y}{x y} & \text { se } x y \neq 0 \\\\ 1 & \text { se } x y=0\end{cases}
f(x, y)= \begin{cases}0 & \text { se } y \leqslant 0 \text { or } y \geqslant x^{4} \\\\ 1 & \text { se } 0<y<x^{4}\end{cases}
(a) Mostre que f(x, y) \rightarrow 0 quando (x, y) \rightarrow(0,0) por qualquer caminho da forma y=m x^{a} passando por (0,0) com a<4.
(b) Mostre que f é descontínua em (0,0).
(c) Independentemente do item (a), mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}^2\to\{0,1\}\) por \[f(x,y)= \begin{cases} 0,&\text{se }y\le 0\text{ ou }y\ge x^4,\\\\ 1,&\text{se }0<y<x^4. \end{cases}
O objetivo é (a) estudar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\] ao longo de curvas \(y=m\,x^a com a<4, (b) mostrar que f é descontínua em (0,0) e (c) exhibir duas curvas inteiras onde f também é descontínua. Vamos usar conceitos de limite e continuidade em várias variáveis: uma função é contínua se, para todo caminho que leve ao ponto, o valor se aproxima do valor da função no ponto.

Passo 2

Seja uma curva y=m\,x^a com a<4 e m\in\mathbb{R}. Quando x\to 0:
  • Se m<0, então y=m\,x^a\le0 para x pequeno, logo
f(x,y)=0.
  • Se m>0, então para x suficientemente pequeno temos
y=m\,x^a \quad\text{e}\quad x^4 = x^4,
mas como a<4 e x\to0 se cumpre x^a \gg x^4, isto é,
y = m\,x^a \ge x^4.
Logo de novo
f(x,y)=0.
Em ambos os casos f(x,m\,x^a)=0 para x pequeno, e portanto
\lim_{x\to 0}f\bigl(x,m\,x^a\bigr)=0.

Passo 3

Para testar continuidade em (0,0), compare com outro caminho. Considere y=\tfrac12\,x^4. Então 0<y<x^4 para todo x\neq0, e assim
f\bigl(x,\tfrac12x^4\bigr)=1 \quad\forall x\neq0.
Isto implica
\lim_{x\to0}f\bigl(x,\tfrac12x^4\bigr)=1\neq 0.
Como existem caminhos que dão limites diferentes (0 e 1), a limite de f(x,y) em (0,0) não existe e, em particular, f é descontínua em (0,0).

Passo 4

Para mostrar descontinuidade ao longo de curvas inteiras, tome duas curvas:
1. A reta y=0. Em qualquer ponto (x_0,0), considere pontos com y<0 (onde f=0) e pontos com 0<y<x_0^4 (onde f=1). Esses valores distintos arbitrariamente próximos de (x_0,0) impedem continuidade ali.
2. A curva y=x^4. Em qualquer ponto \bigl(x_0,x_0^4\bigr), considere pontos com y>x_0^4 (onde f=0) e pontos com 0<y<x^4 (onde f=1), ambos arbitrariamente próximos. Logo f é descontínua em toda a reta y=0 e em toda a curva y=x^4.

Resposta

(a) Em qualquer curva y=m\,x^a com a<4, para x\to0 temos sempre f(x,y)=0, logo o limite é 0.
(b) Pelo caminho y=\tfrac12x^4 obtém-se limite 1\neq0, logo f é descontínua em (0,0).
(c) f é descontínua em todos os pontos das curvas y=0 e y=x^4.

Exercícios relacionados