Calcular os seguintes limites:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(3 x^{2} y+2 x y^{2}-2 x y\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=3x^{2}y + 2x y^{2} - 2xy
quando (x,y) tende a (1,2). O conteúdo da matéria é limites em várias variáveis e a propriedade de continuidade de polinômios.

Passo 2

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, sabemos que polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2. Logo,
\lim_{\substack{x\to1 \\\ y\to2}} f(x,y) = f(1,2).

Passo 3

Basta então calcular f(1,2):
f(1,2)=3\cdot1^{2}\cdot2 \;+\;2\cdot1\cdot2^{2}\;-\;2\cdot1\cdot2
\phantom{f(1,2)}=6 + 8 - 4 =10.

Resposta

10

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