Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem das funções abaixo:
z=(x+y) e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z=(x+y)\,e^{x+2y}.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto (pois z=u\cdot v com u=x+y e v=e^{x+2y}) e a regra da cadeia (para derivar e^{x+2y}).

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Definindo
u(x,y)=x+y,\quad v(x,y)=e^{x+2y},
temos
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=1
e
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=e^{x+2y}
Pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x} = u\,\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x}\,v = (x+y)\,e^{x+2y} + 1\cdot e^{x+2y} = (x+y+1)\,e^{x+2y}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Mantendo
u(x,y)=x+y,\quad v(x,y)=e^{x+2y},
temos
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=1
e
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=2\,e^{x+2y}
Pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y} = u\,\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial y}\,v = (x+y)\,2e^{x+2y} + 1\cdot e^{x+2y} = (2(x+y)+1)\,e^{x+2y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=(x+y+1)\,e^{x+2y}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=(2x+2y+1)\,e^{x+2y}

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