Calcular os seguintes limites: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left[\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right] (Use o Teorema do Confronto) Passo 1O enunciado pede \lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\Bigl[\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr] ou seja, queremos o limite de uma função composta do tipo \cos(\theta(x,y)). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): primeiro mostrar que \theta(x,y)=x^3/(x^2+y^2)\to0 e depois usar uma desigualdade que controle \cos(t) em torno de t=0. Passo 2Para (x,y)\neq(0,0) definimos \theta(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}. Como x^2\le x^2+y^2, temos \bigl|\theta(x,y)\bigr| =\frac{|x|^3}{x^2+y^2} \le\frac{|x|^3}{x^2} =|x| \le\sqrt{x^2+y^2}. Passo 3Da desigualdade acima segue 0\le\bigl|\theta(x,y)\bigr|\le\sqrt{x^2+y^2}, e como \sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos pelo Teorema do Confronto que \theta(x,y)\to0. Passo 4Sabemos da identidade trigonométrica que, para todo t\in\mathbb{R}, \bigl|\cos t-1\bigr| =2\sin^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr) \le2\bigl|\tfrac t2\bigr|^2 =\frac{t^2}{2}. Passo 5Aplicando isso a t=\theta(x,y), obtemos \bigl|\cos\!\bigl(\theta(x,y)\bigr)-1\bigr| \le\frac{\theta(x,y)^2}{2} \le\frac{\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^2}{2} =\frac{x^2+y^2}{2}. Passo 6Como (x^2+y^2)/2\to0 em (x,y)\to(0,0), segue que \cos\!\Bigl[\tfrac{x^3}{x^2+y^2}\Bigr]\to1 pelo Teorema do Confronto. Resposta 1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcular os seguintes limites: \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(e^{x y}-e^{y}+1\right) Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas: 3.1. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} a) pelos eixos coordenados; b) pela reta y=m x (se necessário); c) pela parábola y=x^{2} (se necessário); 3.2. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{-x^{2} y}{2 x^{2}+2 y^{2}} a) pelos eixos coordenados; b) pela reta y=m x (se necessário); c) pela parábola y=x^{2} (se necessário); 3.3. \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}} a) pela reta x=1; b) pela reta y=x-1 (se necessário); c) pela parábola y=(x-1)^{2} (se necessário); 3.4. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} a) pelos eixos coordenados; b) pela reta y=2 x (se necessário); c) pela parábola y=x^{2} (se necessário); Calcular os seguintes limites: \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(3 x^{2} y+2 x y^{2}-2 x y\right) Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem das funções abaixo: z=(x+y) e^{x+2 y}