Calcular os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left[\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right] (Use o Teorema do Confronto)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\Bigl[\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr]
ou seja, queremos o limite de uma função composta do tipo \cos(\theta(x,y)). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): primeiro mostrar que \theta(x,y)=x^3/(x^2+y^2)\to0 e depois usar uma desigualdade que controle \cos(t) em torno de t=0.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) definimos
\theta(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}.
Como x^2\le x^2+y^2, temos
\bigl|\theta(x,y)\bigr| =\frac{|x|^3}{x^2+y^2} \le\frac{|x|^3}{x^2} =|x| \le\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 3

Da desigualdade acima segue
0\le\bigl|\theta(x,y)\bigr|\le\sqrt{x^2+y^2},
e como \sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos pelo Teorema do Confronto que
\theta(x,y)\to0.

Passo 4

Sabemos da identidade trigonométrica que, para todo t\in\mathbb{R},
\bigl|\cos t-1\bigr| =2\sin^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr) \le2\bigl|\tfrac t2\bigr|^2 =\frac{t^2}{2}.

Passo 5

Aplicando isso a t=\theta(x,y), obtemos
\bigl|\cos\!\bigl(\theta(x,y)\bigr)-1\bigr| \le\frac{\theta(x,y)^2}{2} \le\frac{\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^2}{2} =\frac{x^2+y^2}{2}.

Passo 6

Como (x^2+y^2)/2\to0 em (x,y)\to(0,0), segue que
\cos\!\Bigl[\tfrac{x^3}{x^2+y^2}\Bigr]\to1
pelo Teorema do Confronto.

Resposta

1

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