Calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem para as funções dadas a seguir.
f(x)=1+4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
f(x)=1+4x - x^2.
O conteúdo utilizado será a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}) e a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada f'(x) termo a termo:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de 4x é 4.
  • Derivada de -x^2 é -2x.
Portanto,
f'(x)=4 - 2x.

Passo 3

Para a segunda derivada f''(x) derivamos f'(x)=4-2x:
  • Derivada de 4 é 0.
  • Derivada de -2x é -2.
Logo,
f''(x)=-2.

Passo 4

A terceira derivada f'''(x) vem da derivada de f''(x)=-2, que é uma constante. A derivada de qualquer constante é 0.
Assim,
f'''(x)=0.

Resposta

f'(x)=4-2x,\quad f''(x)=-2,\quad f'''(x)=0.

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