Calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem para as funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
f(x)=\frac{1}{x}
O conteúdo aqui é aplicação da regra do poder (power rule) para derivação de funções da forma x^n.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1},
cujo domínio é x\neq0. A regra do poder diz que, para g(x)=x^n,
g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a regra do poder com n=-1, obtemos a primeira derivada:
f'(x)=(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=-x^{-2} usando novamente a regra do poder com coeficiente constante:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr)=(-1)\cdot(-2)\,x^{-2-1}=2\,x^{-3}.

Passo 5

Para a terceira derivada, derivamos f''(x)=2x^{-3}:
f'''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-3}\bigr)=2\cdot(-3)\,x^{-3-1}=-6\,x^{-4}.

Resposta

f'(x)=-x^{-2},\quad f''(x)=2x^{-3},\quad f'''(x)=-6x^{-4}.

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