Resolva as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{\sqrt{x}}(2 x-y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\int_{1}^{\sqrt{x}}\bigl(2x - y\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração dupla e uso da propriedade de inversão de limites quando o inferior é maior que o superior.

Passo 2

Para x\in[0,1] temos \sqrt{x}\le1, então
\int_{1}^{\sqrt{x}}(2x - y)\,dy = -\int_{\sqrt{x}}^{1}(2x - y)\,dy.
Logo a integral original fica
- \int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}(2x - y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{\sqrt{x}}^{1}(2x - y)\,dy = \Bigl[\,2x\,y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{y=\sqrt{x}}^{y=1} = \bigl(2x - \tfrac12\bigr) - \bigl(2x\sqrt{x} - \tfrac{x}{2}\bigr) = \tfrac{5x}{2} \;-\;2x\sqrt{x}\;-\;\tfrac12.
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{1}^{\sqrt{x}}(2x-y)\,dy\,dx = -\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{5x}{2}-2x\sqrt{x}-\tfrac12\Bigr)\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\tfrac{5x}{2}\,dx = \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \tfrac{5}{4},
\int_{0}^{1}2x\sqrt{x}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{3/2}\,dx = 2\cdot\tfrac{2}{5} = \tfrac{4}{5},
\int_{0}^{1}\tfrac12\,dx = \tfrac12.
Logo
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{5x}{2}-2x\sqrt{x}-\tfrac12\Bigr)\,dx = \tfrac{5}{4} - \tfrac{4}{5} - \tfrac12 = -\tfrac{1}{20}.
Multiplicando pelo sinal negativo externo, obtemos
-\bigl(-\tfrac{1}{20}\bigr) = \tfrac{1}{20}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{20}

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