Calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem para as funções dadas a seguir.
f(x)=2 x^{2}-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
f(x)=2x^{2}-x^{3}.
O conteúdo principal aqui é a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
além da linearidade da derivada (derivada de soma é soma das derivadas).

Passo 2

Para obter a derivada de primeira ordem, aplicamos a regra do poder em cada termo e somamos os resultados.
Derivada de 2x^{2} é 2\cdot2x^{2-1}=4x.
Derivada de -x^{3} é -1)\cdot3x^{3-1}=-3x^{2}.
Logo,
f'(x)=4x-3x^{2}.

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos f'(x).
Derivada de 4x é 4.
Derivada de -3x^{2} é -3)\cdot2x^{2-1}=-6x.
Portanto,
f''(x)=4-6x.

Passo 4

Para a terceira derivada, derivamos f''(x).
Derivada de 4 é 0.
Derivada de -6x é -6.
Logo,
f'''(x)=-6.

Resposta

f'(x)=4x-3x^{2} f''(x)=4-6x f'''(x)=-6

Exercícios relacionados